升压拓扑构造在功率电子领域非常主要，但是电感值的选择并不总是像常日假设的那样大略。在 dc - dc 升压转换器中，所选电感值会影响输入电流纹波、输出电容大小和瞬态相应。选择精确的电感值有助于优化转换器尺寸与本钱，并确保在所需的导通模式下事情。本文讲述的是在一定范围的输入电压下，打算电感值以坚持所需纹波电流和所选导通模式的方法，并先容了一种用于打算输入电压上限和下限模式边界的数学方法。
导通模式
升压转换器的导通模式由相对付直流输入电流 (I) 的电感纹波电流峰峰值 (ΔI) 的大小决定。这个比率可定义为电感纹波系数 (K)。电感越高，纹波电流和 K 就越低。 (1) ， 个中 (2) 在连续导通模式 (CCM) 中，正常开关周期内，瞬时电感电流不会达到零 (图1)。因此，当 ΔI 小于 I 的2倍或 K <2时，CCM 坚持不变。MOSFET 或二极管必须以 CCM 导通。这种模式常日适用于中等功率和高功率转换器，以最大限度地降落元件中电流的峰值和均方根值。当 K > 2 且每个开关周期内都许可电感电流衰减到零时，会涌现非连续导通模式 (DCM) (图2)。直到下一个开关周期开始前，电感电流保持为零，二极管和 MOSFET 都不导通。这一非导通韶光即称为 tidle。DCM 可供应更低的电感值，并避免输出二极管反向规复损耗。
图1 – CCM 运行
图2 – DCM 运行
当 K = 2 时，转换器被认为处于临界导通模式 (CrCM) 或边界导通模式 (BCM)。在这种模式下，电感电流在周期结束时达到零，正如 MOSFET 会不才一周期开始时导通。对付须要一定范围输入电压 ( V）的运用，固定频率转换器常日在设计上能够在最大负载的情形下在指定 V 范围内，以所须要的单一导通模式 (CCM 或 DCM) 事情。随着负载减少，CCM 转换器终极将进入 DCM 事情。在给定 V 下，使导通模式发生变革的负载便是临界负载（I）。在给定 V 下，引发 CrCM / BCM 的电感值被称为临界电感（L），常日发生于最大负载的情形下。
纹波电流与 VIN
众所周知，当输入电压为输出电压 (V) 的一半时，即占空比 (D) 为50％时 (图3)，在连续导通模式下以固定输出电压事情的 DC－DC 升压转换器的电感纹波电流最大值就会涌现。这可以通过数学办法来表示，即设置纹波电流相对付 D 的导数 (切线的斜率) 即是零，并对 D 求解。大略起见，假定转换器能效为100％。 根据 (3)、 (4) 和 (5), 并通过 CCM 或 CrCM 的电感伏秒平衡 (6), 则 (7). 将导数设置为零, (8)我们就能得出 (9).
图3 – CCM 中的电感纹波电流
CCM 事情
为了选择 CCM 升压转换器的电感值 (L)，须要选择最高 K 值，确保全体输入电压范围内都能够以 CCM 事情，并避免峰值电流受 MOSFET、二极管和输出电容影响。然后打算得出最小电感值。K最高值常日选在0.3和0.6之间，但对付 CCM 可以高达2.0。如前所述，当 D = 0.5 时，涌现纹波电流 ΔI 最大值。那么，多少占空比的情形下会涌现 K 最大值呢？我们可以通过派生方法来求得。假设 η = 100%， 则 (10), 然后将(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出: (11) (12). 对 D 求解，可得 (13).D = 1 这一伪解可被忽略，由于它在稳态下实际上是不可能涌现的 (对付升压转换器，占空比必须小于1.0)。因此，当 D =⅓ 或 V = ⅔V 时的纹波因数 K 最高，如图4所示。利用同样的方法还能得出在同一点的最大值 L、L 和 I。
图4 – 当 D =⅓ 时 CCM 纹波系数 K 最高值
对付 CCM 事情，最小电感值 (L)应在最靠近 ⅔ V 的实际事情输入电压 (V) 下进行打算。根据运用的详细输入电压范围，V 可能涌如今最小 V、最大 V、或其间的某个位置。解方程 (5) 求 L，并根据 V下的 K 重新打算，可得出 (14)，个中 V 为最靠近⅔V 的实际事情 V。 对付临界电感与 V 和 I 的变革，KRF = 2，可得出 (15). 在给定 V 和 L 值的条件下，当 K = 2时，即涌现临界负载 (I)： (16)
DCM 事情
如图5所示，在一定事情 V和输出电流 (I) 下的电感值小于 L时，DCM 模式事情保持不变。对付 DCM 转换器，可选择最短的空闲韶光以确保全体输入电压范围内均为 DCM 事情。tidle 最小值常日为开关周期的3％-5％，但可能会更长，代价是器件峰值电流升高。然后采取 tidle 最小值来打算最大电感值 (L)。L 必须低于 V 范围内的最低 L。对付给定的 V，电感值即是 L(tidle= 0) 时引发 CrCM。
图5 – L 与标准化 V 的变革
为打算所选最小空闲韶光 (tidle) 的 L，首先利用 DCM 伏秒平衡方程求出 t (所许可的 MOSFET 导通韶光最大值) 与 V 的函数，个中 t 为电感放电韶光。 (17)，个中
(18) 可得出 (19). 均匀 (直流) 电感电流即是转换器直流输入电流，通过重新排列 (17)，可得出 t 相对付 t 的函数。大略起见，我们将再次假设 P = P。 (20) ，个中 (21). 将方程 (3)、(5)、(10)、(19) 和 (21) 代入 (20)，求得 V 下的 L (22). L 遵照类似于 L 的曲线，且同在 V = ⅔V时达到峰值。为确保最小 tidle，要打算与此事情点相反的实际事情输入电压 (V ) 下的最低 L 值。根据运用的实际输入电压范围，V 将即是最小或最大事情 V。若整体输入电压范围高于或低于 ⅔ V（含⅔ V），则 V 是距 ⅔ V 最远的输入电压。若输入电压范围覆盖到了 ⅔ V，则在最小和最大 V 处打算电感，并选择较低 (最差情形下) 的电感值。或者，以图表办法对 V 进行评估，以确定最差情形。
输入电压模式边界
当升压转换器的输出电流小于 I 与 V 的最大值时，如果输入电压增加到高于上限模式边界或低落到低于下限模式边界，即 I 大于 I 时，则将引发 CCM 事情。而 DCM 事情则发生于两个 V 的模式边界之间，即 I 小于 I 时。要想以图表办法呈现 V 下的这些导通模式边界，在相同图表中绘制临界负载 (利用所选电感器) 与输入电压和干系输出电流的变革曲线。然后在 X 轴上找到与两条曲线相交的两个 V 值 (图6)。
图6 – 输入电压模式边界
要想以代数办法呈现 V 的模式边界，首先将临界负载的表达式设置为即是干系输出电流，以查找交点： (23). 这可以重写为一个三次方程，K 可通过常数打算得出 (24) 个中
(25). 这里，三次方程通式 x3 + ax2 + bx + c = 0 的三个解可通过三次方程的三角函数解法得出 [1] [2]。在此情形下，x1 项的“b”系数为零。我们将解定义为矢量 V。 我们知道 (26)、
(27)、 以及
(28), (29). 由于升压转换器的物理限定，任何 V ≤ 0或V > V 的解均可忽略。两个正解均为模式边界处 V的有效值。
模式边界 – 设计示例
我们假设一个具有以下规格的 DCM 升压转换器： V = 12 VI = 1 AL = 6 μHF = 100 kHz 首先，通过 (25) 和 (28) 打算得出 K和 θ： . 将 V 和打算所得的 θ 值代入 (29)，得出模式边界处的 V 值： . 忽略伪解 (-3.36 V)，我们在 4.95 V 和 10.40 V 得到两个输入电压模式边界。这些打算值与图7所示的交点符合。
图7 – 打算得出的模式边界
结论
电感值会影响升压转换器的诸多方面，若选择不当，可能会导致本钱过高、尺寸过大、或性能不佳。通过理解电感值、纹波电流、占空比和导通模式之间的关系，设计职员就能够确保输入电压范围内的所需性能。
参考文献
[1] H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh & London: Oliver and Boyd, 1952.[2] I. J. Zucker, "The cubic equation - a new look at the irreducible case," The Mathematical Gazette, vol. 92, no. 524, pp. 264-268, July 2008
