理解黎曼猜想（五）宇宙的密码｜袁岚峰_黎曼_质数

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理解黎曼猜想（五）宇宙的密码｜袁岚峰_黎曼_质数理解黎曼猜想（五）宇宙的密码｜袁岚峰_黎曼_质数科学

导读

无论任何行星，任何星系，乃至任何维度，数学的规律都不会变。
想想看，除了质数之外，还有什么更适宜作为跟外星文明互换的第一条信息呢？质数跟我们常常强调的可控核聚变一样，都是宇宙级别的关键科技！
在这个意义上，可以把黎曼猜想理解为宇宙的密码！

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（图片来自网络侵删）

在上一期节目（文章见理解黎曼猜想（四）得救之道，就在个中 | 袁岚峰，视频见https://www.bilibili.com/video/av36107856）中，我们知道了一个根本性的结论：质数分布的全部信息，都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置之中。
然后，我们先容了黎曼猜想的内容。
它说的是：黎曼ζ函数所有的非平凡零点，实部都即是1/2。

数学家常常把黎曼ζ函数非平凡零点的实部和虚部分别写成σ和t，把复平面上0 < σ < 1的竖直条带称为临界带，把σ = 1/2的竖线称为临边界。
我们已经知道的是，黎曼ζ函数所有的非平凡零点都位于临界带内部。
而黎曼猜想说的便是，黎曼ζ函数所有的非平凡零点都位于临边界上，在临边界外一个都没有。

临边界与临界带

在连续先容之前，让我们来回答一个许多人问起的问题：质数有什么用？

我欣慰地看到，不少同学们都主动地做出了回答：质数在密码学中有十分主要的运用。
例如当现代界最常用的密码体系之一叫做RSA，这个名字是三位发明者的姓的首字母缩写。
RSA密码体系的根本便是因数分解的困难性，即把一个很大的合数分解成两个质数的乘积须要非常大的打算量。
同学们的这种主动精神非常好！

我还可以补充一点质数在机器方面的运用：齿轮的齿数常常被设计成质数。
为什么呢？由于这样可以使两个齿轮的两个齿在两次相遇之间的啮合次数最大化，使磨损均匀化，增加耐用度，减少故障。

质数在日常生活中的运用固然很有趣，不过我还想再谈一个宇宙层面的运用，便是作为聪慧的标志。
在《三体》的第三部《去世神永生》中，人类的太空艇探险队和四维空间的文明进行了这样的互换：

《三体》英文版封面

“按照操持，卓文用中频电波发送了一个问候语。
这是一幅大略的点阵图，图中由六行不同数量的点组成了一个质数数列：2、3、5、7、11、13。

他们没有指望得到应答，但应答急速涌现了，速率之快让三人不敢相信自己的眼睛。
悬浮在太空艇舱里的信息窗口显示出一个大略点阵图，与他们发送的类似，也用六行点组成六个质数，但图中的点阵大了许多，把他们发送的那个数列接了下来：17、19、23、29、31、37。

对方的含义很明确，回答了他们的问候。
”

这在科幻小说中，是很标准的设定。
无论任何行星，任何星系，乃至任何维度，数学的规律都不会变。
而在数学中又属自然数最为大略，而在自然数中又属质数最随意马虎表现出聪慧含量。
想想看，除了质数之外，还有什么更适宜作为跟外星文明互换的第一条信息呢？

苦处浩茫连广宇，于无声处听惊雷。
质数跟我们常常强调的可控核聚变一样，都是宇宙级别的关键科技！
在这个意义上，可以把黎曼猜想理解为宇宙的密码！

顺便说一句，最近媒体纷纭宣布，中国的EAST核聚变装置等离子体中央电子温度首次达到1亿度。
这确实是很主要的成果，等我找一些专家朋友聊聊后，再来跟大家详细谈。

EAST

让我们回到数学公式。
上次我们说到（理解黎曼猜想（四）得救之道，就在个中 | 袁岚峰），黎曼对小于即是x的质数个数即质数计数函数π(x)，推出了下面的表达式，个中唯一未知的便是那些非平凡零点的位置ρ：

1896年，在1859年提出黎曼猜想的37年之后，阿达马和德·拉·瓦·布桑证明了质数定理，并因此续到了90多岁。
质数定理说的是，质数计数函数π(x)约即是对数积分函数Li(x)，也约即是x/lnx。

质数定理的相对偏差

因此，我们对质数的分布可以这样理解：质数定理给出了π(x)的基本轮廓，即Li(x)，黎曼ζ函数的非平凡零点给出了π(x)对这个轮廓的改动。
而对付这个改动，黎曼猜想又给出了它的最主要的特色。

什么样的特色呢？我们可以把稳到，对付一个复数ρ = σ + it，x的ρ次方的绝对值是由ρ的实部也便是σ决定的，由于ρ的虚部也便是t只影响x的ρ次方的方向，而不影响其大小。
我们还可以把稳到，在x很大时，对数积分函数Li(x)约即是x/lnx，而lnx的增长速率比x慢得多，因此Li(x)的增长速率大约便是x。
因此，如果黎曼猜想成立，也便是说所有的σ都即是1/2，那么所有这些Li(xρ)加起来的增长速率就大约是x的1/2次方，即根号x。

你大概会问，无穷多个根号x加起来，难道不会发散吗？回答是，别忘了ρ还有虚部呢，它会使x的ρ次方的矢量旋转。
因此不同零点的贡献会在很大程度上抵消，末了得到一个有限的值，而这个有限值的长度正比于根号x。

如果黎曼猜想不成立，也便是说有些σ不即是1/2，会产生什么后果呢？如果有一个非平凡零点的σ > 1/2，也便是说它位于临边界右侧，那么它就会导致Li(xρ)的增长速率超过根号x。
当x无限增大时，这一个零点的贡献就会淹没所有的临边界上的零点的贡献。
好比你跟一群人赛跑，你的速率是x的2/3次方，他们的速率是x的1/2次方，那么当x充分大的时候，一定会导致他们跑过的路程加起来都没有你多。
因此，这一个右侧的零点就会使得π(x)对Li(x)的偏离的增长速率超过根号x。

而如果有一个非平凡零点的σ < 1/2，也便是说位于临边界的左侧呢？别忘了，非平凡零点对付临边界是对称的。
以是如果有一个在左侧，就一定会有一个相应的在右侧。
因此，只要有一个非平凡零点不在临边界上，就会导致π(x)对Li(x)的偏离的增长速率超过根号x！
我们强调一下：只要有一个非平凡零点不在临边界上，就足以导致可不雅观的后果了！

临边界与临界带

因此黎曼猜想意味着，在质数分布对其轮廓所有可能的偏离中，实际取到的是最小的偏离。
这是一个多么深刻的预测！
现在你明白黎曼猜想的意义何在了吧？

例如美国数学家舍恩菲尔德（Lowell Schoenfeld，1920 - 2002）在1976年证明了，如果黎曼猜想成立，那么下列不等式对任何大于即是2657的x都成立：

而如果不以黎曼猜想作为条件，那么我们对|π(x) - Li(x)|的增长速率能够证明的，就只是它不超过x。
这跟黎曼猜想对应的结果根号x比较，就差得太多了！

人们已经创造了许多跟黎曼猜想等价的猜想。
例如1984年，有一位法国数学家Guy Robin就证明了一个。
这位法国数学家的姓Robin用英语读出来像“罗宾”，但用法语读出来更像“猴棒”，猴赛雷的猴，金箍棒的棒，真是太棒了。
根据名从主人的原则，我们还是称呼他“猴棒”吧。
总之，猴棒证明了，黎曼猜想等价于下列不等式对任何大于即是5041的自然数n都成立：

这里的γ是欧拉常数，我们在本系列的第二篇（理解黎曼猜想（二）两个自然数互质的概率是多少？ | 袁岚峰）中先容过，约即是0.577216。
而σ(n)是因数和函数（sum-of-divisorsfunction），意思是一个自然数n的所有因数之和，包括1和这个自然数本身在内。
例如12的因数包括1、2、3、4、6、12，σ(12)就即是1 + 2 + 3+ 4 + 6 + 12 = 28。

受到黎曼猜想的启示，人们在数学的多少其他领域也提出了类似的猜想。
这些猜想都可以理解为黎曼猜想的推广，这些推广也对数学产生了深远的影响。

我的朋友卢昌海博士写了一本非常好的科普著作《黎曼猜想漫谈》（清华大学出版社2012年8月初版），得到了许多图书奖。
著名的数学家、前中国数学会理事长王元院士给此书撰写了媒介，向大众推举此书。
王元院士写道：

“就像研究FLT（按：Fermat’s last theorem，费马末了定理）与GC（按：Goldbach's conjecture，哥德巴赫猜想）一样，研究它们的目的紧张在于发展数学中的新思想与新方法。
形象地说，这两个问题都是数学中的‘下金蛋的母鸡’。

从过去的研究来看，RH（按：Riemann hypothesis，黎曼猜想）当然是数学中下金蛋的母鸡，但研究它的目的，远远不止此。
它之以是成为数学中第一主要问题，紧张是由于一系列的数学中的重大问题的办理都依赖于各种RH的办理。
一旦这些RH办理了，人类就站在一个不知好比今高多少的数学平台上，看到更远得多的风景。
”

《黎曼猜想漫谈》

请看，王元对黎曼猜想的评价是，“数学中第一主要问题”！
如果我们守旧一点，那么说黎曼猜想是“数学中最主要的问题之一”，则是完备没有疑问的。

王元

黎曼猜想在"大众年夜众中的有名度，在很大程度上来自两次世纪之交时的宣扬。

第一次是在1900年，伟大的德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943）在国际数学家大会上提出了经典的23个数学问题，对后世产生了深远的影响。
个中第八个问题便是“黎曼猜想与其他质数问题，包括哥德巴赫猜想和孪生质数猜想”。
事实证明这三个猜想都是特殊难的问题，直到现在都没有办理。

希尔伯特

第二次是在2000年，克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）提出了七个“千年大奖问题”（Millennium Prize Problems），对每一个问题的办理悬赏一百万美元。
个中第四个问题便是黎曼猜想。
人们笑谈，这是天下上最难的得到一百万美元的方法！

克雷数学研究所的这七笔悬赏发出去了几笔呢？回答是：一笔都没发出去。
到目前为止，这七个问题中只有一个被办理了，便是第三个问题“庞加莱猜想”（Poincaré conjecture）。
但是，办理者俄罗斯数学家佩雷尔曼（Grigori Yakovlevich Perelman）不屑于去领奖！
这位长得有点像沙僧的哥们是个神人，往后我们有机会再来先容他。

佩雷尔曼

虽然有这么两次大规模的宣扬，不过论起在公众年夜众中的有名度，黎曼猜想还是显著的落在哥德巴赫猜想与孪生质数猜想后面。
这是由于后两者的表述非常大略，小学生都能看懂，而黎曼猜想的表述就繁芜得多，须要有复变函数的知识才能理解。
大略地说，哥德巴赫猜想和孪生质数猜想很随意马虎“扮猪吃老虎”，而黎曼猜想一看就知道是老虎。
这倒也未尝不是一件好事，至少号称自己占领了黎曼猜想的民科，就比号称自己占领了哥德巴赫猜想或者孪生质数猜想的民科少得多！

但如果论起在数学上的主要性，顺序就反过来了。
从王元的媒介，我们可以理解，不少著名猜想的主要性紧张在于启示新思想，本身的用途比较小。
而黎曼猜想不但能启示新思想，而且本身的用途就非常大。
因此，黎曼猜想虽然与哥德巴赫猜想、孪生质数猜想同列于希尔伯特第八问题，但主要性还是比它们高一个层次。

当然，我们并不是说哥德巴赫猜想与孪生质数猜想不主要，也不是说陈景润与张益唐的事情不主要。
哥德巴赫猜想与孪生质数猜想都是非常主要的问题，而且它们寻衅人类智力的韶光比黎曼猜想还要长。
陈景润与张益唐的干系事情都是非常精彩的成果，值得我们高度的敬佩与赞誉。
我们只是希望读者明白，这些不是数学的全部，天下上还有其他的而且是更主要的问题须要关注。

对付专业数学家来说，他们都十分清楚黎曼猜想的主要性。
例如有人曾经问希尔伯特，如果他能在500年后重返人间，他最想问的问题是什么？希尔伯特回答说，他最想问的便是：是否有人办理了黎曼猜想？

来，让我们为希尔伯特献上一首《向天再借五百年》！

《向天再借五百年》

这里有一点值得提的是，许多人在知道了密码学和黎曼猜想都与质数有关之后，认为如果黎曼猜想被证明了，许多密码体系就会被破解。
我们必须指出，这是一种过度解读。

实际上，从来没有哪个密码体系因此黎曼猜想的成立或者不成立作为设计根本的。
例如RSA，它的根本是因数分解的困难性。
如果我们证明了黎曼猜想，那么当然会对质数的分布增加很多理解，但这是否会导致更快的因数分解算法呢？至少目前没有，将来有没有不知道。
这是一个假设性的问题，到时又会须要很多的研究。
因此，黎曼猜想和密码学之间的联系，只是一种间接的联系，而不是吹糠见米、一触即发的直接联系。

对黎曼猜想的意义和主要性理解了这么多，那么人们考试测验证明黎曼猜想的努力，达到什么程度了呢？

基本的回答是：离真正办理问题，看起来还离得远。
详细的进展情形，我们下次来讲。

下一期将是本系列的末了一期，技能性内容将会很少，而故事性与情怀性内容将会很多，相信所有的同学们都能有所收成哦~

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